METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK KURVA LINIER

A)    PENDAHULUAN :

            Jika terdapat banyak galat yang berhubungan dengan data, khususnya data eksperi-mental, maka interpolasi tidak sesuai dan mungkin memberikan hasil-hasil yang tidakmemuaskan jika dipakai untuk meramalkan nilai-nilai antara. Untuk kasus yang demi-kian, suatu strategi yang sesuai adalah dengan pencocokan kurva. Pencocokan kurvaadalah pencarian suatu kurva yang bisa menunjukkan kecenderungan (trend) dari himpunan data. Kurva ini tidak harus melalui titik-titik data. Suatu kriteria yang dipakai untuk mengukur kecukupan dari kecocokan yaitu regresi kuadrat terkecil.        
              

            Dalam suatu formula matematis yang dibuat dari permisalan  suatu table data-data x dan y terkadang timbul pertanyaan bagaimana cara kita mengetahui atau menimpulakn bahwa formula untuk tabel dari suatu data tersebut sudah tepat ?, Pertimbangan inilah yang mendasari kita untuk mencari metode pengolahan data bagi tabel data percobaan untuk memperoleh formula yang menghubungkan y dan x. Diharapkan bahwa formula ini cukup sederhana. Hal pertama yang harus diperhatikan adalah bagaimana dapat disimpulkan bahwa suatu formula merupakan pendekatan yang baik dari tabel data.

            Dalam hal grafis, pertanyaan diterjemahkan sebagai bagaimana dapat diputuskan bahwa kurva tersebut merupakan kurva yang paling “tepat” pada titik-titik data. Salah satu metode yang digunakan untuk dapat menanggulangi terjadi adanya kesalahan yaitu dengan penerapan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squares). Sebagai contoh, misalkan dari pengamatan kecenderungan umum data, dapat kita pilih y merupakan fungsi linier :

                                        g(x) =  a+ bx                             …………….(1.1)

Dengan :

      a = kelandaian (slope) kurva garis lurus

      b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak

B)    PERHITUNGAN

            Dengan x dan y merupakan variabel bebas, sedangkan a dan b merupakan parameter. Jika kita mempunyai sekumpulan data pasangan (x,y), dan data tersebut digambarkan dalam bentuk grafik linear, maka akan diperoleh suatu garis lurus, dengan menganggap bahwa x memiliki sesatan yang lebih kecil dari pada sesatan pada y, maka garis lurus terbaik dapat diperoleh berdasarkan metode kuadrat terkecil (regresi terhadap y).

Jumlah kuadrat dari suatu kesalahan dihitung dengan persdarsamaan :

Penjumlahan masing-masing suku pada Persamaan (1.3) dan (1.4) adalah dari 1 sampai n.

Persamaan (1.3) dan (1.4) dapat ditulis dalam bentuk :

Dengan menggunakan Persamaan (1.8) dan (1.9) untuk menghitung koefisien a dan b, maka fungsi g(x) dapat dicari.

            Persamaan garis lain, selain Persamaan (1.1) memberikan jumlah kuadrat kesalahan yang lebih besar. Dengan demikian Persamaan (1.1) adalah perkiraan terbaik dari data. Untuk mengetahui derajad kesesuaian dari persamaan yang didapat, dihitung nilai koefisien korelasi yang berbentuk :

A)  ANALISIS REGRESI

                   Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah).Dari hasil suatu percobaan biasanya diperoleh nilai-nilai yang diskrit atau tabel hasil percobaan. Dari hasil percobaan tersebut akan dicari suatu persamaan (fungsi) g(x) yang dapat mewakili titik-titik percobaan tersebut. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar.

Metode yang digunakan untuk menetukan persamaan garis g(x) yang mewakili titik-titik percobaan tersebut dengan menggunakan pendekatan metode kuadrat terkecil dengan cara meminimumkan selisih antara titik-titik data dengan kurva g(x) tersebut. 

Pada table b.1berikut adalah contoh mencari regresi linier untuk kurva kudrat terkecil dari data – data x dan y.

Contoh tersebut sebenarnya juga dapat diselesaikan dengan hitungan tangan (kalkulator). Apabila jumlah data banyak seperti itu untuk mempermudah perhitungan maka perlu dilakukan dengan menggunakan program komputer “Matlab” maka seperti berikut :

Program MATLAB

%==============================================================%

%         Metode Kuadrat Terkecil Untuk Kurva Linier           %

%==============================================================%

% Kelompok 6                                                   %

% Nama :    1. Indra Setyawan         (I1413018)               %

%           2. Ivan Prawiratama       (I1413019)               %

%           3. Novianta Maulana Putra (I1413021)               %

%==============================================================%

clc;

clear;

No=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

Xi=[4 6 8 10 14 16 20 22 24 28];

Yi=[30 18 22 28 14 22 16 8 20 8];

n=10;

sum_Xi=0;

for i=1:n

sum_Xi=sum_Xi+Xi(1,i);

end

sum_Xi

sum_Yi=0;

for i=1:n

sum_Yi=sum_Yi+Yi(1,i);

end

sum_Yi

XiYi=0;

for i=1:n

XiYi=Xi(i)*Yi(i);

end

sum_XiYi=0;

for i=1:n

sum_XiYi=sum_XiYi+Xi(1,i)*Yi(1,i);

end

sum_XiYi

Xikuadrat=0;

for i=1:n

Xikuadrat=(Xi(i))^2;

end

sum_Xikuadrat=0;

for i=1:n

sum_Xikuadrat=sum_Xikuadrat+((Xi(1,i))^2);

end

sum_Xikuadrat

% Konstanta regresi linier

b=((n*sum_XiYi)-(sum_Xi*sum_Yi))/((n*sum_Xikuadrat)-((sum_Xi)^2))

a=mean(Yi)-(b*mean(Xi))

%Koefisien Korelasi

sum_Dtkuadrat=0;

for i=1:n

sum_Dtkuadrat=sum_Dtkuadrat+(Yi(i)-mean(Yi))^2;

end

sum_Dtkuadrat

sum_Dkuadrat=0;

for i=1:n

sum_Dkuadrat=sum_Dkuadrat+(Yi(i)-a-b*Xi(i))^2;

end

sum_Dkuadrat

r=sqrt((sum_Dtkuadrat-sum_Dkuadrat)/sum_Dtkuadrat)

% Plot hasil

y=a+b*Xi;

plot(Xi,Yi,'k*',Xi,y,'k-','lineWidth', 2)

%Hitungan regresi Linier

disp('Hitungan Regresi Linier')

disp('===================================================')

disp('|   No.   |   Xi    |   Yi    |   XiYi  |  Xi^2   |')

disp('===================================================')

for i = 1:n

fprintf(1,'|%5.0f    |%5.0f    |%5.0f    |%6.0f   |%6.0f   |\n',...

No(1,i),Xi(1,i),Yi(1,i),Xi(i)*Yi(i), (Xi(i))^2)

end

disp('===================================================')

fprintf(1,'|         |%5.0f    |%5.0f    |%6.0f   |%6.0f   |\n',...

sum_Xi,sum_Yi,sum_XiYi,sum_Xikuadrat)

disp('===================================================')

Hasil plot persamaan garisnya adalah :